第九章回归预测?什么是回归预测?回归预测的常用方法一元线性回归一元非线性回归二元线性回归二元非线性回归多元线性回归多元非线性回归9.1回归预测概述（1）?回归预测以因果关系为前提，应用统计方法寻找一个适当的回归模型，对未来市场的变化进行预测。?回归分析具有比较严密的理论基础和成熟的计算分析方法；回归预测是回归分析在预测中的具体运用。?在回归预测中，预测对象称为因变量，相关的分析对象称为自变量。?回归分析根据自变量的多少分为一元回归分析、二元回归分析与多元回归分析，但有时候二元回归分析被并入到多元回归分析之中；回归分析根据回归关系可分为线性回归分析与非线性回归分析。9.1回归预测概述（2）?回归分析的基本步骤如下：第一步：判断变量之间是否存在有相关关系第二步：确定因变量与自变量第三步：建立回归预测模型第四步：对回归预测模型进行评价第五步：利用回归模型进行预测，分析评价预测值9.2一元线性回归预测?一元线性回归预测是在一个因变量与一个自变量之间进行的线性相关关系的回归预测。?一元线性回归的基本步骤如下：第一步：绘制散点图，观察自变量与因变量之间的相互关系；第二步：估计参数，建立一元线性回归预测模型；第三步：对预测模型进行检验；第四步：计算与确定置信区间。9.2.1建立一元线性回归预测模型?一元线性回归预测的基本模型如下：?y=a+bx其中n∑xy?∑x∑y∑xy?x∑yb==n∑x2?(∑x)2∑x2?x∑xa=y?bx9.2.2预测模型检验?相关系数检验相关系数是描述两个变量之间线性关系能密切程度的数量指标。相关系数r的取值范围是[-1，1]。若r=1则说明完全正相关，若r=-1则说明完全负相关；r=0说明不相关；r的值在（0，1）之间则正相关，在（-1，0）之间则为负相关。?t检验t检验是利用t统计量来检验回归参数a和b是否具有统计意义。9.2.2预测模型检验（相关系数检验）?相关系数的计算公式是：∑(x?x)(y?y)r=∑(x?x)2∑(y?y)2或者写成1xy?xy∑n∑∑r=11x2?(x)2y2?(y)2∑n∑∑n∑?另一个来自于方差分析的相关系数的计算公式是：?∑(y?y)2r=1?∑(y?y)29.2.2预测模型检验（t检验）?t检验使用的统计量计算公式是：bt=Sb其中?∑(y?y)2S=b(n?2)∑(x?x)2取α=0.05当有t?t(n2)α?2线性相关成立。反之则不成立。9.2.3计算与确定置信区间?由于预测值与实际值之间存在有不确定的偏差，因而需要确定预测值的有效区间，即置信区间。?一元线性回归预测的置信区间有下述表达式确定：置信区间:??[yt(n2)S(y)，yt(n2)S(y)]?α??+α??22其中?∑(y?y)21(x?x)2S(y)=?1++0n?2n∑(x?x)2x0为给定值。9.2.4一元线性回归预测案例研究（1）?例：x、y两变量的观察数据如下表所示，根据数据进行回归预测。数据序号xyx2y2xy11.54.82.2523.047.2021.85.73.2432.4910.2632.47.05.7649.0016.8043.08.39.0068.8924.9053.510.912.25118.8138.1563.912.415.21153.7648.3674.413.119.36171.6157.6484.813.623.04184.9665.2895.015.325.00234.0976.50合计30.391.1115.111036.65345.099.2.4一元线性回归预测案例研究（2）?根据前表可知：n∑xy?∑x∑y9×345.09?30.3×91.1b===2.9303n∑x2?(∑x)29×115.11?30.3291.130.3a=y?bx=?2.9303×=0.257999所以有?y=a+bx=0.2579+2.9303x9.2.4一元线性回归预测案例研究（3）?相关系数检验。根据前表数据以及相关系数计算公式可知本例为显著线性相关。1xy?xy∑n∑∑r=11x2?(x)2y2?(y)2∑n∑∑n∑1345.09?×30.3×91.19=11115.11?×30.321036.65?×91.1299=0.9911查表得r(n2)r(92)r(7)0.666α?=0.05?=0.05=即有r?r(7)0.059.2.4一元线性回归预测案例研究（4）?t检验。t检验的分析计算表如下：???数据序号xyyx?xy?y(x?x)2(y?y)211.54.84.65-1.870.153.500.0221.85.75.53-1.570.172.460.0332.47.07.29-0.97-0.290.940.0843.08.39.05-0.37-0.750.140.5653.510.910.510.130.390.020.1563.912.411.680.530.720.280.5274.413.113.151.03-0.051.060.0084.813.614.321.43-0.722.040.5295.015.314.911.630.392.660.15合计13.12.039.2.4一元线性回归预测案例研究（5）?根据上表数据以及t统计量的计算公式有：?∑(y?y)22.03S===0.1488b(n?2)∑(x?x)2(9?2)×13.1b2.9303t===19.692S0.1488b取α=0.05t(n2)t(7)2.365α?=0.025=2即有t19.692?t(7)=0.025∴线性相关成立。9.2.4一元线性回归预测案例研究（6）?计算确定置信区间。计算得到置信区间为[10.42,13.54]，具体计算过程如下：?2∑(y?y)1(x?x)22.031(4?3.37)2?S(y)=?1++0=×1++=0.6612n?2n∑(x?x)29?2913.1(令x=4)?0yt(n2)S(y)11.982.3650.661210.42∴?α??=?×=2yt(n2)S(y)11.982.3650.661213.54+α??=+×=29.3一元非线性回归预测?一元非线性回归预测的基本步骤?一元非线性回归预测的主要模型指数曲线模型双曲线模型对数曲线模型S型曲线模型?案例研究9.3.1一元非线性回归预测的基本步骤?一元非线性回归预测的基本步骤如下：第一步：确定非线性回归模型的类型。第二步：通过变换将非线性方程转化为线性方程。第三步：用最小二乘法建立回归方程。第四步：进行逆变换，将线性方程转换为需要的非线性方程。9.3.2指数曲线模型?设有指数曲线如下：y=aebx两边取对数：lny=lna+lnebx=lna+bx设y′=lny,a′=lna则有：y′=a′+bx9.3.3双曲线模型?设有双曲线方程如下：11=a+byx11设y′=,x′=yx则有：y′=a+bx′9.3.4对数曲线模型?设有对数曲线方程如下：y=a+blogx设x′=logx则有：y=a+bx′9.3.5S型曲线模型?设有S形曲线方程如下：1y=a+be?x1设y′=,x′=e?xy则有：y′=a+bx′9.3.6一元非线性回归预测案例研究（1）?根据下表资料预测2002年变量值。观察年份19941995199619971998199920002001时序(x)12345678观察值(y)3.04.25.78.311.516.022.431.09.3.6一元非线性回归预测案例研究（2）?根据上表可绘制出时间序列的散点图如下：观察值时间序列散点图353025值20系列1察15观10500246810时序9.3.6一元非线性回归预测案例研究（3）?所以在本例中，预测模型的类型应该是指数曲线。即有：y=aebx两边取对数：lny=lna+lnebx=lna+bx设y′=lny,a′=lna则有：y′=a′+bx9.3.6一元非线性回归预测案例研究（4）?由最小二乘法有：n∑xy′?∑x∑y′8×95.7378?36×18.1485b===0.335n∑x2?(∑x)28×204?362∑y′18.148536a′=lna=?bx=?0.335×=0.761n88所以有：y′=0.761+0.335x即有：y=e0.761+0.335x9.4多元线性回归预测?二元一次线性回归预测?多元线性回归方程的矩阵解法9.4.1二元一次线性回归预测（1）?二元一次线性回归的预测模型是：?YabXbX=+11+22?二元一次线性回归的正规方程是：b(XX)2b(XX)(XX)(XX)(YY)1∑1i?1+2∑1i?12i?2=∑1i?1i?b(XX)(XX)b(XX)2(XX)(YY)1∑1i?12i?2+2∑2i?2=∑2i?2i?aYbXbX=?11?229.4.1二元一次线性回归预测（2）?例：根据下表进行二元一次线性回归预测。时序12345678910合计Y516557641682736813824901111514108195X31.834.340.545.343.547.747.149.158.571.24691iX4956636677969911316222510062i(XX)2228.01158.7640.962.5611.560.640.044.84134.56590.491172.421i?1556.9(XX)22662.561989.161413.81197.221.162.56153.763769.9615476.427242.42i?26(XX)(XX)779.16561.96240.6455.3680.24-3.68